Ostatni tydzień szkoły rządzi się własnymi prawami. Dzienniki prawie wypełnione, uczniowie myślami gdzieś daleko, nauczyciel stoi przed klasą i zastanawia się, co z tym zrobić. Można odtworzyć film. Można dać wolne. A można zrobić lekcję, po której uczniowie wyjdą z poczuciem, że matematyka właśnie ich nabrała i właściwie to im się to podobało.
Wydaje mi się, że paradoksy i sofizmaty nadają się do tego całkiem dobrze!
Czym w ogóle jest aporia, sofizmat i paradoks?
Zanim padną konkretne przykłady, warto się zatrzymać przy pojęciach. Aporia to rozumowanie, które prowadzi do zaskakującego wniosku, przy czym jeszcze nie wiadomo, czy słusznego. Intuicja mówi jedno, logika sugeruje coś zupełnie innego.
Kiedy aporia zostaje rozstrzygnięta, okazuje się sofizmatem (gdzieś był błąd, sprytnie ukryty) albo paradoksem (nie było żadnego błędu. Teza jest prawdziwa, nawet jeśli brzmi absurdalnie).
Gdzie jest ta złotówka?
Trzy osoby płacą za pizzę po 10 zł. Pizza kosztuje 25 zł, kelner oddaje każdemu po 1 zł i zachowuje 2 zł napiwku. Każda z osób zapłaciła więc 9 zł. Trzy razy dziewięć to 27, plus 2 zł napiwku. Razem 29. Zapłacono jednak 30 zł.
Uczniowie wyglądają na zbitych z tropu, liczą od nowa, szukają błędu w kolejnych krokach. Błąd jest w samym pytaniu – napiwek dodajemy do wydanych pieniędzy zamiast od nich odjąć. Rozumowanie wciąga właśnie dlatego, że każdy krok z osobna wydaje się bez zarzutu.
Czy 2+2=5? I czy 1 zł = 1 gr?
Innym przykładem są sofizmaty, które wyglądają jak dowód algebraiczny. Z pozoru wszystko się zgadza, każde przekształcenie jest poprawne, ale jednak na końcu wychodzi nam absurd.
Przykład:
Czy 2+2=5 ?
16 − 12 − 4 = 20 − 15 − 5
4(4 − 3 − 1) = 5(4 − 3 − 1)
Dzielimy obie strony przez (4 − 3 − 1) i dostajemy: 4 = 5.
Błąd jest jeden: nawias (4 − 3 − 1) = 0, a przez zero dzielić nie wolno. Ten jeden niedozwolony krok sprawia, że z prawdziwego równania można wyprowadzić dosłownie wszystko.
Podobnie działa sofizmat z 1 zł = 1 gr 😉 Kilka kroków i nagle złotówka okazuje się warta tyle co grosz. Uczniowie szukają błędu i zazwyczaj go znajdują, ale nie od razu. I o to nam chodzi.
O trójkątach, które znikają
Cztery figury ułożone w trójkąt, potem przestawione inaczej i pojawia się wolne pole. Skąd? Uczniowie liczą kwadraty, rysują, szukają podstępu. Sztuczka polega na tym, że „trójkąt” wcale nie jest trójkątem. Jego przekątna jest lekko wygięta, nasze oko tego nie wyłapuje. Różnica pól to właśnie ten „brakujący” kwadrat.
Dobrze działa w wersji fizycznej — wydrukowane figury do przekładania w ławkach. Często można spotkać to w Internecie w formie zaginionej kostki czekolady.
Achilles i żółw, fryzjer i Kreteńczycy
Część paradoksów bardziej nadaje się do opowiedzenia niż do rozwiązania. Zenon twierdził, że Achilles nigdy nie dogoni żółwia, bo zawsze musi najpierw pokonać połowę dystansu. Uczniowie zwykle to obalają, choć nie zawsze potrafią powiedzieć jak. To też jest warte uwagi.
Paradoks fryzjera i paradoks kłamcy dobrze działają jako dyskusja w grupie. Żadnych obliczeń, a przy tym dotykają czegoś, czego uczniowie się nie spodziewają na matematyce – logiki zdań i samoodwołania.
Paradoks Monty’ego Halla i 0,(9)=1
Te dwa tematy wywołują zwykle największe emocje. Monty Hall i dylemat, czy zamienić drzwi czy nie? Pytanie ma jednoznaczną odpowiedź, ale intuicyjnie wydaje się błędna. Uczniowie najchętniej sprawdzają go w parach, empirycznie, z kartkami zamiast drzwi, albo kubeczkami z ukrytym cukierkiem! Poniższe zdjęcie zrobiłam… ponad 7 lat temu!
Innym przykładem jest pokazanie, że 0,(9)=1. Teza, która na pierwszy rzut oka wygląda fałszywie. Dobry punkt wyjścia do rozmowy o tym, czym właściwie są liczby rzeczywiste — i czy nieskończoność to coś, co można ogarnąć głową. Przyznam, że to chyba jedyny moment, w którym uczniowie z zaciekawieniem oglądają zamianę ułamka okresowego na ułamek zwykły.
Jak to zaplanować?
Poniżej znajdziecie prezentację ze wszystkimi tymi tematami. Można ją wyświetlić klasie i prowadzić lekcję. Uczniowie dyskutują, szukają błędów, próbują obalać tezy. Sprawdza się od klasy czwartej wzwyż, choć Monty Halla i 0,(9)=1 lepiej odbierają nieco starsze klasy.
Prezentacja do wykorzystania na zajęciach:
Dobrego końca roku! 🙂
Zostaw odpowiedź